Problemställning :: Verifiera och eliminera

Verifiera att \((x,y,z)=(1,2,-1)\) är en lösning till systemet \begin{align*} %\label{} 2x+y+3z &=1 \\ -x+y+2z &=-1 \\ x+y+z &=2 \end{align*} Utför operationer på ekvationerna så att först \(x\) och sedan \(y\) elimineras. Vad blir \(z\)? Börja med att byta plats på lämpliga ekvationer.

Svar ::

Svar ::

Lösning ::

Lösning ::

För att kontrollera lösningen så sätter man helt enkelt in \(x=1\), \(y=2\) och \(z=-1\) i ekvationernas vänster led och kontrollerar att resultatet blir samma sak som i höger led.
Vi utför eliminationsstegen:
i :: Byt plats på ekvation 1 och 3 :: Vi byter plats på ekv. 1 och 3 snarare än 1 och 2 eftersom rad 3 har en etta framför \(x\) medan rad 2 har \(-1\) framför \(x\) och kräver en extra operation (multiplikation med \(-1\) för att få \(+1\). Vårt system är nu \begin{align*} x+y+z &=2 \\ -x+y+2z &=-1 \\ 2x+y+3z &=1 \end{align*}
ii :: Eliminera \(x\) ur andra och tredje ekvationen :: För att eliminera \(x\) ur rad 2 och 3 kan vi addera rad ett till rad 2, multiplicera rad ett med \(-2\) och addera till rad 3. Vi får då systemet: \begin{align*} x+y+z &=2 \\ 2y+3z &=1 \\ -y+z &=-3 \end{align*}
iii :: Byt plats på ekv. 2 och 3 :: Vi byter plats på rad \begin{align*} x+y+z &=2 \\ -y+z &=-3 \\ 2y+3z &=1 \end{align*}
iv :: Eliminera \(y\) från rad 3 :: Addera 2 gånger rad 2 till rad 3. Snygga samtidigt till rad 2 genom att multiplicera\footnote{\small Man vill helst att första nollskillda elementet i en rad ska ha koeffecient 1} med \(-1\), dvs byt tecken i båda led. Vi får \begin{align*} x+y+z &=2 \\ y-z &=3 \\ 5z &=-5 \end{align*}
v :: Lös ut \(z\) :: Det är nu enkelt att lösa ut \(z\) genom att multiplicera tredje ekvationen med \(1/5\) (dividera med \(5\) i båda led alltså.) Vi får \(z=-1\).
vi :: Lös ut \(x\) och \(y\) :: \(y\) löser vi ut från ekvation 2 :: \(y=3+z=3-1=2\). \(x\) löser vi nu ut från ekvation 1 : \(x=2-y-z=2-2-(-1)=1\). Alltså \(x=1\), \(y=2\) och \(z=-1\) är lösningen till systemet.



annat :: Relaterade nyckelord


Nyckelord




Problemet kopplat till lecture