Terminologi


Här ges en ordförklaring av ett nyckelord. Att känna till och förstå nyckelbegreppen är en viktig del av linjäralgebrastudierna.


Algebraisk multiplicitet

Den algebraiska multipliciteten för ett egenvärde är multipliciteten för egenvärdet som nollställe till det karakteristiska polynomet. Karakteristiska polynomet kan faktoriseras mha polynomets nollställen. 

Exempel:  Faktorisering för följande femtegradspolynom 

\[x^5-7 x^3-2 x^2+12 x+8=(x-2)^2 (x+1)^2 (x+2)\]

visar att \(x?2\) och \(x=-1\) har multiplicitet 2 medan \(x=-2\) har multiplicitet 1. Om detta polynom är det karakteristiska polynomet till en matris så  gör detta att de två första nollställena är egenvärden med algebraisk multiplicitet 2 medan det sista är egenvärde med algebraisk multiplicitet 1.

Ett egenvärde har också en geometrisk multiplicitet som är hur många fria variabler systemet \((A-\lambda I)\mathbf{x}=\mathbf{0}\) har. Eftersom systemmatrisen \(A-\lambda I\) är kvadratisk så är antalet fria variabler lika med antal nollrader.  Om vi kallar detta antal för \(m\) så är Lösningsmängden, dvs egenrummet till egenvärdet \(m\)-dimensionell. Detta \(m\) är den geometriska multipliciten.

Matrisen är diagonaliserbar om den algebraiska multipliciteten är lika med den geometriska multipliciteten.


Fler Nyckelord ::