Terminologi


Här ges en ordförklaring av ett nyckelord. Att känna till och förstå nyckelbegreppen är en viktig del av linjäralgebrastudierna.


Bas

En bas för ett vektorrum (eller delrum)  är ett antal linjärt oberoende vektorer som spänner upp rummet.  Att vektorerna spänner upp rummet betyder att varje vektor i rummet kan skrivas som en linjärkombination av basvektorerna. Att basvektorerna är linjärt oberende betyder att linjärkombinationen är unik och detta ger att vi kan identifiera varje vektor i rummet med sin unika koordinatvektor m.a.p. den aktuella basen. Om vektorrummet \(V\) har baseen \(B=\{\mathbf{b}_1,\dots, \mathbf{b}_n\}\) så finns det unik koordinatvektor \([v]_B= (x_1,\dots, x_n)\) till vektorn \(\mathbf{v}\) där

\[\mathbf{v}=x_1\mathbf{b}_1+\cdots +x_n\mathbf{b}_n\]

Det är tydligt att koordinaterna är lösningen till ekvationen \(M_B\mathbf{x}=\mathbf{v}\), där \(M_B\) är matrisen som har basvektorerna som kolonnvektorer. Detta följer direkt när vi tolkar matrisekvationen som en vektorekvation. När matrisens kolonner är linjärt oberoende så är denna matris inverterbar och systemet har därför den unika lösningen

\[\mathbf{x}=M_B^{-1}\mathbf{v}\]

En bas för ett delrum kan beräknas genom att börja med en mängd vektorer som spänner upp rummet. Ställ sedan upp dessa uppspännande vektorer som raderna i en matris och radreducera den. De rader som blir kvar är en bas för delrummet.


Fler Nyckelord ::