Terminologi


Här ges en ordförklaring av ett nyckelord. Att känna till och förstå nyckelbegreppen är en viktig del av linjäralgebrastudierna.


Dimensionssatsen.

Dimensionssatsen talar om för oss hur antalet ledande variabler (pivotelement) och fria variabler hänger ihop med varandra.

Om matrisens antal kolonner är \(n\) och matrisen har \(m\) rader (så att matrisen är en \(m\times n\)-matris) så har vi att antalet ledande element (=rangen=\(R\) ) inte kan överskrida det totala antalet rader och inte heller överskrida antalet kolonner. Vi har alltså att \(R\leq m\) och \(R\leq n\). 

Varje ledande element står i en viss kolonn och mot kolonnen svarar en ledande variabel. Fria variabler finns bara om det finns kolonner som inte har något ledande element i sig och varje sådan kolonn svarar mot en fri variabel och vi får därför lika många fria variabler som vi har kolonner utan ledande element. Det finns alltså \(n-R\) stycken fria variabler. Uttryckt på annat sätt så har vi att antalet fria variabler plus antalet ledande variabler är lika med antalet kolonner i matrisen. Antalet fria variabler är precis dimensionen för nollrummet och vi kan uttrycka det hela genom att skriva

\[ \text{Rangen }\quad +\quad \text{dimensionen för nollrummet}\quad = \quad\text{ Antal kolonner }\]

Om \(Rank(A)\) betecknar rangen för \(m\times n\)-matrisen \(A\) och \(Noll(A)\) är  dimensionen för \(A\)'s nollrum så har vi

\[Rank(A)+Noll(A)=n\]

Detta är dimensionssatsen eller "The Rank Theorem" som Lay kallar det.


Fler Nyckelord ::