Terminologi


Här ges en ordförklaring av ett nyckelord. Att känna till och förstå nyckelbegreppen är en viktig del av linjäralgebrastudierna.


Egenvärdesproblemet

Om man har en kvadratisk matris \(A\), t.ex. en \(2\times 2\) matris så betraktar vi ofta denna matris som en avbildning från \(\mathbb{R}^2\) tillbaka till \(\mathbb{R}^2\):

\[\mathbb{R}^2\ni\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}\]

Detta gör det möjligt att ställa sig frågan huruvida det finns någon riktning som inte förändras, dvs en vektor \(\mathbf{x}\) som avbildas väsentligen på sig själv, vilket kan uttryckas mha ekvationen

\[A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}.\qquad\qquad\qquad\qquad (*)\]

Här är \(\lambda\) det så kallade egenvärdet och är ett reellt tal som talar om för oss hur längden av vektorn förändras. Om \(\lambda\) är negativt så betyder det att riktningen som \(\mathbf{x}\) pekar ut avbildas till motsatt riktning (180°).  Vektorn \(\mathbf{x}\) som uppfyller detta kallas egenvektorn till egenvärdet \(\lambda\)

Egenvärdesproblemet är att beräkna dessa egenvärden och egenvektorer för en given matris. Om det för en matris är möjligt  att göra detta så kan man använda egenvektorerna för att bilda en ny bas/referensram. När man uttrycker matrisavbildningen m.a.p denna egenvektorsram så kommer den nya matrisen vara speciellt enkel. Den kommer vara en diagonal matris och diagonalen kommer att innehålla egenvärdena. Denna basbytesprocess kallar vi för diagonalisering av matrisen.

Hur beräknar man då egenvärden och egenvektorer?

  1. Skriv om ekvation \((*)\) som \((A-\lambda I)\mathbf{x}=\mathbf{0}\). Detta är en homogen ekvation som har den unika lösningen (triviala lösningen) \(\mathbf{x}=\mathbf{0}\) om matrisen \(A-\lambda I\) är inverterbar.
  2. Vi är intresserade av icketriviala lösningar och då krävs det att matrisen \(A-\lambda I\) är icke inverterbar, vilket i sig innebär att \(\det(A-\lambda I)=0\). Vänster led i denna s.k.  den karakteristiska ekvationen, kallar vi för det karakteristiska polynomet och är ett polynom i variabeln \(\lambda\) som har gradtalet \(n\) om matrisen är en \(n\times n\)-matris. Vi behöver allså beräkna nollställen till polynom här och detta kan i sig vara en utmaning om \(n\geq 3\). Nollställena till det karakteristiska polynomet är alltså våra egenvärden!
  3. Egenvektorerna är nu de icketriviala lösningarna till \((*)\). För varje egenvärde löser vi ekvationen och eftersom vi bestämt \(\lambda\) så att systemmatrisens determinant är noll så kommer vi få fria variabler så varje egenvärde ger oss ett system med många lösningar. De vektorer som spänner upp lösningsrummet är egenvektorerna till det aktuella egenvärdet.

Om man sedan vill diagonalisera matrisen så används egenvektorerna för att bilda den så kallade diagonaliserande matrisen \(P\) som har egenskapen att

\[D=P^{-1}AP\]

är en diagonal matris. Det följer att D är noll över allt utom på dess huvuddiagonal där vi återfinner alla egenvärden.


Fler Nyckelord ::