Terminologi


Här ges en ordförklaring av ett nyckelord. Att känna till och förstå nyckelbegreppen är en viktig del av linjäralgebrastudierna.


Fri variabel

I ett system med systemmatris som Gauss-Jordan elimineras som

\[\left[
\begin{array}{ccc|c}
 1 & 1 & 2 & 1 \\
 1 & -1 & 2 & 1 \\
 1 & 0 & 2 & 1 \\
\end{array}
\right]\sim\left[
\begin{array}{ccc|c}
 1 & 0 & 2 & 1 \\
 0 & 1 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]\]

identifierar vi de ledande (eller pivot) elementen som de första nollskilda talen i en rad. Kolonnerna som dessa tal svarar mot är de ledande identifierar de ledande/pivot variablerna för systemet.

En fri variabel svarar mot en kolonn som inte har något ledande element i sig. I ovanstående system är det \(z\) som är fri eftersom den tredje kolonnen saknar ledande element.

Läser vi av detta system ser vi att andra raden ger att \(y=0\) och den första raden ger att \(x+2z=1\).

Den tredje raden kan vi  tolka som \(0\cdot z=0\). Denna ekvation är ju uppfylld oavsett vad \(z\) än må vara. Eller hur? \(z\) är fri att vara vad som helst. Därför säger vi att \(z\) är en fri variabel.

Vanligen låter vi denna frihet parametriseras av en parameter \(t\) och sedan uttrycker vi de ledande/pivot variablerna med denna parameter. I vårt fall har vi \(x=-2z+1=-2t+1\). Vi kan nu skriva upp parameterlösningen till systemet

\[\left(
\begin{array}{c}
 x \\
 y \\
 z \\
\end{array}
\right)= \left(
\begin{array}{c}
 -2 \\
 0 \\
 1 \\
\end{array}
\right)t+\left(
\begin{array}{c}
 1 \\
 0 \\
 0 \\
\end{array}
\right)\]

Parametern i denna parameterlösning svarar alltså mot den fria variabeln. Det viktiga med parameterlösningen är att den ger en tydlig geometrisk bild av lösningen: linje med viss riktningsvektor genom viss punkt...


Fler Nyckelord ::