Terminologi


Här ges en ordförklaring av ett nyckelord. Att känna till och förstå nyckelbegreppen är en viktig del av linjäralgebrastudierna.


Homogent ekvationssystem

Ett ekvationssystem är homogent om vi har nollor i höger led. Exempelvis så är systemet

\[\begin{eqnarray}x+y+2z &=0\\x-y+2z &=0\\x+2z &=0\end{eqnarray}\]

homogent eftersom det står nollor i höger led. En viktig egenskap för homogena ekvationssystem är att de alltid har lösning, den s.k. triviala lösningen \(x=0\), \(y=0\), \(z=0\).

Lösningen till ovanstående system får vi fram genom att Gauss-Jordan eliminera systemmatrisen:

\[\left[
\begin{array}{ccc|c}
 1 & 1 & 2 & 0 \\
 1 & -1 & 2 & 0 \\
 1 & 0 & 2 & 0 \\
\end{array}
\right]\sim\left[
\begin{array}{ccc|c}
 1 & 0 & 2 & 0 \\
 0 & 1 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]\]

Från vilket vi läser ut ledande/pivot variabler: \(x\) och \(y\), och fri variabel \(z=t\). Uttrycker vi de ledande/pivot variablerna mha den fria får vi lösningen

\[\left[
\begin{array}{c}
 x \\
 y \\
 z \\
\end{array}
\right]=\left[
\begin{array}{c}
 -2 \\
 0 \\
 1 \\
\end{array}
\right]t\]

Lösningen till homogena system kommer även in när vi löser inhomogena system dvs system som har ett nollskilt höger led. Tar vi följande inhomogena system

\[\begin{eqnarray}x+y+2z &=1\\x-y+2z &=1\\x+2z&=1\end{eqnarray}\]

som har samma koeffecientmatris som ovanstående homogena system och löser det så får vi

\[\left[
\begin{array}{ccc|c}
 1 & 1 & 2 & 1 \\
 1 & -1 & 2 & 1 \\
 1 & 0 & 2 & 1 \\
\end{array}
\right]\sim\left[
\begin{array}{ccc|c}
 1 & 0 & 2 & 1 \\
 0 & 1 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]\]

Identifierar vi, i vanlig ordning, ledande och fria variabler så får vi lösningarna

\[\left[
\begin{array}{c}
 x \\
 y \\
 z \\
\end{array}
\right]= \left[
\begin{array}{c}
 -2 \\
 0 \\
 1 \\
\end{array}
\right]t+\left[
\begin{array}{c}
 1 \\
 0 \\
 0 \\
\end{array}
\right]\]

Här noterar vi att den första delen, delen med parametern \(t\) faktiskt är det homogena systemets lösningar. Den andra delen är en fix vektor som löser vårt inhomogena system.

Sätter vi \(\mathbf{x}_h\) för det homogena systemets lösningar och använder  \(\mathbf{x}_p\) för att beteckna en viss (partikulär) lösning till det inhomogena systemet så kan vi skriva det inhomogena systemets lösningar \(\mathbf{x}\) som en summa av det homogena systemets och denna partikulärlösning:

\[\mathbf{x}=\mathbf{x}_h+\mathbf{x}_p.\]

Poängen med allt detta är att det homogena systemets lösningar är vad som ger det inhomogena systemet dess oändliga lösningar. Det homogena systemets lösningar är en viktig egenskap för systemets koeffecientmatris. Lösningarna till det homogena systemet är alla vektorer som avbildas till nollvektorn av koeffecientmatrisavbildningen.

Dessa lösningar kallas också koeffecientmatrisens nollrum eller dess kärna


Fler Nyckelord ::