Terminologi


Här ges en ordförklaring av ett nyckelord. Att känna till och förstå nyckelbegreppen är en viktig del av linjäralgebrastudierna.


Identitetsmatrisen

När vi arbetar med vanliga reella tal så har vi det speciella talet 1 som har egenskapen att \(a\cdot 1=1\cdot a=a\). 

Identitetsmatrisen med formatet \(3\times 3\)

\[I=\left[
\begin{array}{ccc}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]\]

är exepel på en matris som har denna egenskap vid matrismultiplikation. Om produkten \(A\cdot I\) är definierad (vilket innebär att A har 3 kolonner) så gäller att

\[A\cdot I=A\]

Vi kan verifiera dett explicit för matrisen

\[\left[
\begin{array}{ccc}
 1 & 2 & 3 \\
 4 & 5 & 6 \\
 7 & 8 & 9 \\
\end{array}
\right]\cdot\left[
\begin{array}{ccc}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]=\left[
\begin{array}{ccc}
 1 & 2 & 3 \\
 4 & 5 & 6 \\
 7 & 8 & 9 \\
\end{array}
\right]\]

På samma sätt gäller att om produkten \(I\cdot A\) är definierad så gäller \(I\cdot A=A\).

Övning :: Verifiera detta påstående själv för ovanstående matriser.

Matrisinversen :: Identitetsmatrisen kommer in vid definition av matrisinversen. Inversen till en (kvadratisk) matris \(A\) är en matris som löser matrisekvationen

\[X\cdot A=I\]

För vanliga tal skulle vi bara ha dividerat båda led med \(A\) och fått \(X=I/A\). Tyvärr går inte detta för matriser, bland annat p.g.a. att produkten är ickekommutativ. För matriser så måste vi lösa ekvationen. Om alla matriserna i den är \(3\times 3\) matriser så söker vi nio tal (elementen i \(X\)) som gör att ekvationen är uppfyllt. Beräkningen av inversen använder inversberäkningsalgoritmen som i princip löser flera ekvationer, i vårt fall löser dessa ekationer flera av \(X\)'s komponenter samtidigt.


Fler Nyckelord ::