Terminologi


Här ges en ordförklaring av ett nyckelord. Att känna till och förstå nyckelbegreppen är en viktig del av linjäralgebrastudierna.


Inversen

 Inversen till en (kvadratisk) matris \(A\) är en matris som löser matrisekvationen

\[A\cdot X=I\]

För vanliga tal skulle vi bara ha dividerat båda led med \(A\) och fått \(X=I/A\). Tyvärr går inte detta för matriser, bland annat p.g.a. att produkten är ickekommutativ. För matriser så måste vi lösa ekvationen. Om alla matriserna i den är \(3\times 3\) matriser så söker vi nio tal (elementen i \(X\)) som gör att ekvationen är uppfyllt. Beräkningen av inversen använder inversberäkningsalgoritmen som i princip löser flera ekvationer samtidigt. Varje kolonn av \(X\) är variablerna i ett vanligt ekvationssystem. Eftersom vi i vårt fall har tre kolonner så har vi tre system. Det fina är att de tre systemen har samma koeffecientmatris \(A\) vilket gör att vi kan lösa dessa tre system genom samtidig Gausselimination. Det som skiljer systemen åt är höger led som består av kolonnerna i identitetsmatrisen och eftersom vänster led har samma koeffecientmatris så gör vi exakt samma operationer för att Gausseliminera alla tre systemen. Vi kan därför ställa upp alla tre högerled samtidigt och Gauss-Jordaneliminera som vanligt. När vi är klar (om allt går bra) så har vi Identitetsmatrisen till vänster efter Gauss-Jordan och till höger står lösningen till våra tre system och faktiskt till höger står matrisen \(X\) som vi sökte.

Algoritmen för att hitta inversmatrisen :: Vi exemplifierar med \(2\times 2\) matrisen

\[M=\left[
\begin{array}{cc}
 1 & 2 \\
 1 & 3 \\
\end{array}
\right]\]

  1. Ställ upp den utvidga utvidgade matrisen \([\ M\ |\ I\ ]\): \[\left[
    \begin{array}{cc|cc}
     1 & 2 & 1 & 0 \\
     1 & 3 & 0 & 1 \\
    \end{array}
    \right]\]
  2. Gauss-Jordan eliminera den utvidgade matrisen. Om det går bra så har man fått identitetsmatrisen till vänster.\[\left[
    \begin{array}{cc|cc}
     1 & 0 & 3 & -2 \\
     0 & 1 & -1 & 1 \\
    \end{array}
    \right]\]
  3. Inversen står då till höger \[M^{-1}=\left[\begin{array}{cc} 3 & -2 \\-1 & 1 \\\end{array}\right]\]
  4. Om det inte går bra, som i följande räkning\[\left[
    \begin{array}{cc|cc}
     1 & -2 & 1 & 0 \\
     -2 & 4 & 0 & 1 \\
    \end{array}
    \right]\sim\left[
    \begin{array}{cc|cc}
     1 & -2 & 0 & -\frac{1}{2} \\
     0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\
    \end{array}
    \right]\] där vänsterledsmatrisens rader är linjärt beroende (rad 2 är -2 gånger rad 1) så får vi en nollrad till vänster vilket leder till att systemet är inkonsistent och saknar lösningar. I sådana fall så är matrisen ej inverterbar. Notera, som här, att om en matris saknar invers så beror det på att matrisens rader är linjärt beroende.


Fler Nyckelord ::