Terminologi


Här ges en ordförklaring av ett nyckelord. Att känna till och förstå nyckelbegreppen är en viktig del av linjäralgebrastudierna.


Kofaktorutveckling

Låt oss börja definiera determinanten för en \(1\times 1\) matris \(A=(a)\). En sådan matris är
naturligtvis bara ett vanligt tal. Determinanten definierar vi som talet själv, dvs
    \[
        \det A=a
    \]
(Eftersom sådan matriser helt enkelt är våra vanliga tal så är sådana matriser egentligen fåniga men fyller ett syfte i att beskriva hur determinanter beräknas med kofaktorutveckling.)
Låt oss nu betrakta en \(2\times 2\)-matris 
    \[    B=
        \begin{pmatrix}
            b_{11}  &b_{12}    \\
             b_{21} &  b_{22}
        \end{pmatrix}.
    \]
Vi definierar nu determinanten av \(B\) m.h.a.  s.k. kofaktorutveckling längs första raden.
Med ord så får vi: determinanten är \(b_{11}\) gånger determinanten för den matris 
som vi får om vi tar bort rad och kolonn som \(b_{11}\) står i, vilket blir $1\times 1$ matrisen
\((b_{22})\)'s determinant, dvs      talet \(b_{22}\). Sedan skall vi lägga till \(-b_{12}\) gånger
determinanten för den matris vi får om vi stryker rad och kolonn som \(b_{12}\) står i, dvs
talet \(b_{21}\).
Detta är ganska omständigt men blir enklare om vi sammanfattar med följande
    \[
        \det B=(-1)^{1+1}b_{11}b_{22}+(-1)^{1+2}b_{12}b_{21}=
            b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21}
    \]
Notera hur tecknena följer som potenser av $-1$, där en jämn potens blir positiv och
en udda potens blir negativ.
Den omständiga beskrivningen i ovan kan vidgas till $3\times 3$-matriser. Låt 
    \[
        C=\begin{pmatrix}
            c_{11}  &  c_{12} &c_{13} \\
             c_{21} & c_{22}&c_{23}   \\
             c_{31} &c_{32} &c_{33}
        \end{pmatrix}.
    \]  
Om vi gör kofaktorutveckling så låter det som tidigare: första elementet gånger
determinanten för den matris vi får genom att ta bort rad och kolonn som första elementent står i
osv. 
Vi skriver det som följer:
    \[
        \det C=c_{11}\cdot\underbrace{(-1)^{1+1}\det\begin{pmatrix}c_{22} & c_{23}\\c_{32} & c_{33}\end{pmatrix}}_{=C_{11}}+\ 
                c_{12}\cdot\underbrace{(-1)^{1+2}\det\begin{pmatrix}c_{21} & c_{23}\\c_{31} & c_{33}\end{pmatrix}}_{=C_{12}}+\ 
                c_{13}\cdot\underbrace{(-1)^{1+3}\det\begin{pmatrix}c_{21} & c_{22}\\c_{31} & c_{32}\end{pmatrix}}_{=C_{13}}
    \]
Det är dessa deldeterminanter tillsammans med tecknet som kallas för kofaktorer, och som givit upphov till namnet kofaktorutveckling. Med följande beteckning blir uttrycket enklare att
skriva ned:
    \[
        C_{12}=(-1)^{1+2}\det\begin{pmatrix}c_{21} & c_{23}\\c_{31} & c_{33}\end{pmatrix}
    \]  
På samma sätt får vi \(C_{ij}\) som \((-1)^{i+j}\) gånger determinanten för den matris som
återstår om vi stryker rad \(i\) och kolonn \(j\).
Och \(\det C\) kan nu skrivas
    \[
        \det C=c_{11}C_{11}+c_{12}C_{12}+c_{11}C_{12}
    \]

Exempel ::    Låt 
    \[
        C=\begin{pmatrix}
            2  &  1 &-1 \\
             1 & -1&3   \\
             -2 &5 &2
        \end{pmatrix}.
    \]
    Då får vi att determinanten blir
    \[
    \begin{split}
        \det C&=2\cdot\det\begin{pmatrix}
            -1&3   \\
             5 &2
        \end{pmatrix}-
        1\cdot\det\begin{pmatrix}
             1 &3   \\
             -2  &2
        \end{pmatrix}+
        (-1)\cdot\det\begin{pmatrix}
             1 & -1  \\
             -2 &5 
        \end{pmatrix}=\\ 
        &=2\cdot(- 2-15)-(2+6)-( 5-2)=-17-8-3=-45.
    \end{split}
    \]
Notera att man får utveckla längs vilken rad eller kolonn som man själv vill. Detta kan vara gynnsamt i vissa fall.
En tumregel är att kofaktorutveckla längs en rad som det finns nollor i, ju fler desto bättre. Följande exempel illustrerar detta!

Exempel :: Betrakta följande \(4\times 4\) matris:
    \[
    D=\begin{pmatrix}
            2  &  1 &0&-1 \\
             1 & -1&0&3   \\
        1 & 1 & 1 & 1\\        
             -2 &5 &0&2
        \end{pmatrix}
    \]
I detta fall ser vi att kolonn \(3\) har många nollor, vilket gör det fördelaktigt att utveckla längs
denna kolonn:
    \[
    \begin{split}
        \det D&=0\cdot C_{13}+0\cdot C_{23}+1\cdot C_{33}+0\cdot C_{43}=\\ \\
        &=(-1)^{3+3}\begin{pmatrix}
            2  &  1 &-1 \\
             1 & -1&3   \\
             -2 &5 &2
        \end{pmatrix}=-45.
    \end{split}
    \]   

där vi i den sista likheten noterar att matrisen är samma som matrisen \(C\) i förra exemplet.
 
 Från föregående exempel kan vi alltså se att det är en stor fördel att vi har många nollor i en rad eller, som i exemplet, i en kolonn. Då reduceras antalet räkneoperationer ofta ganska betydligt.

Referenser ::

Ovanstående beskrivning av kofaktorutvecklingen är tagen från dokumentet

Determinanten och intro till kryssprodukten


Fler Nyckelord ::