Terminologi


Här ges en ordförklaring av ett nyckelord. Att känna till och förstå nyckelbegreppen är en viktig del av linjäralgebrastudierna.


Kryssprodukten

Kryssprodukten är en produkt som endast är definierad för tredimensionella vektorer. Kryssprodukten \(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\) är en ny vektor och definieras mha determinanten enligt:

Låt \(\mathbf{u}=(u_1, u_2, u_3)\), \(\mathbf{v}=(v_1, v_2, v_3)\).
Kryssprodukten definieras med en determinant:
\begin{equation}
    \mathbf{u}\times\mathbf{v}=\det \left[\begin{array}{ccc}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}  \\u_1 & u_2 & u_3 \\v_1 & v_2 & v_3\end{array}\right]
\end{equation}
Här är det nu bara att räkna med determinanten på vanligt sätt så att
\[
    \mathbf{u}\times\mathbf{v}=\mathbf{i}[u_2v_3-u_3v_2]-\mathbf{j}[u_1v_3 - u_3v_1] + \mathbf{k}[u_1v_2-u_2v_1]
\]
För det sista och avgörande steget så ersätter vi symbolerna \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) och \(\mathbf{k}\) med deras vektordefinitioner:

Vektorerna \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) och \(\mathbf{k}\) är alltså standardbasvektorerna i \(\mathbb{R}^3\):
\[
\begin{split}
    \mathbf{i} & = (1,0,0)\\
    \mathbf{j} & = (0,1,0)\\
    \mathbf{k} & = (0,0,1)
\end{split}
\]
och får då
\begin{equation}
    \mathbf{u}\times\mathbf{v}=([u_2v_3-u_3v_2],-[u_1v_3 - u_3v_1] ,[u_1v_2-u_2v_1])=(u_2v_3-u_3v_2, u_3v_1-u_1v_3,u_1v_2-u_2v_1)
\end{equation}
Denna formel är inget man behöver lägga på minnet utan man ska kunna beräkna kryssprodukten genom att använda sina kunskaper om determinantberäkning och standarbasvektorerna. Följande exempel  vissar hur man typiskt går till väga.

Exempel ::
Beräkna kryssprodukten \(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\) av vektorerna \(u=(1,-2,3)\) och \(v=(2,1,-1)\). Vi har att
\[
\begin{split}
    \mathbf{u}\times\mathbf{v}&=
    \det \left[\begin{array}{ccc}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}  \\1 & -2 & 3 \\2 & 1 & -1\end{array}\right]=\\
    &=\mathbf{i}[(-2)\cdot(-1)-3\cdot 1] -\mathbf{j}[1\cdot(-1)-2\cdot 3]+\mathbf{k}[1\cdot 1-2\cdot(-2)]=\\
    &=-\mathbf{i}+7\mathbf{j}+5\mathbf{k}=-(1,0,0)+7(0,1,0) +5(0,0,1)=(-1,7,5)
\end{split}
\]
Notera hur vi använder symbolerna \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) och \(\mathbf{k}\) hela vägen och först i sista steget byter vi ut
dem mot dess vektormotsvarigheter.

Referenser ::

Kryssprodukten finns inte med i Lays bok utan man läser i stället dokumentet

Determinanten med intr till kryssprodukten


Fler Nyckelord ::