Terminologi


Här ges en ordförklaring av ett nyckelord. Att känna till och förstå nyckelbegreppen är en viktig del av linjäralgebrastudierna.


Kvadratisk ekvation

En allmän kvadratisk ekvation i två variabler är ett uttryck på formen

\[\underbrace{ax^2+bxy+cy^2}_{\text{kvadratisk form}} +dx+ey+f=0\]

På matrisform kan vi skriva denna som

\[\left[
\begin{array}{cc}
 x & y \\
\end{array}
\right]\left[
\begin{array}{cc}
 a & \frac{b}{2} \\
 \frac{b}{2} & c \\
\end{array}
\right]\left[
\begin{array}{c}
 x \\
 y \\
\end{array}
\right]+[\left[
\begin{array}{cc}
 d & e \\
\end{array}
\right]\left[
\begin{array}{c}
 x \\
 y \\
\end{array}
\right]+f=0\]

De  talpar \((x,y)\) som uppfyller ekvationen blir typiskt något av kägelsnitten (ellips, hyperbel, parabel) eller någon av dess degenererade/urartade fall.

Genom att diagonalisera den kvadratiska formen kan man ofta avgöra vilken typ det är fråga om. (t.ex. om båda egenvärdena är positiva är det en ellips). Diagonaliseringen ger oss också ett koordinatbyte (och vi kan se till att det blir en rotation) som hjälper oss att överföra ekvationen till en enklare sort.


Fler Nyckelord ::