Terminologi


Här ges en ordförklaring av ett nyckelord. Att känna till och förstå nyckelbegreppen är en viktig del av linjäralgebrastudierna.


Kvadratisk form

En kvadratisk form är ett polynom där alla termer har grad två. 

I två variabler \(x\) och \(y\) har vi den allmänna kvadratiska formen

\[ax^2+bxy+cy^2\]

Detta uttryck kan beskrivas mha matriser genom

\[\left[
\begin{array}{cc}
 x & y \\
\end{array}
\right]\left[
\begin{array}{cc}
 a & \frac{b}{2} \\
 \frac{b}{2} & c \\
\end{array}
\right]\left[
\begin{array}{c}
 x \\
 y \\
\end{array}
\right]\]

Notera att \(b\) sprids ut jämnt på två positioner så att matrisen blir symmetrisk. Att vi har symmetrisk matris är viktigt eftersom vi då kan uttnyttja ortogonal diagonalisering och få fram roterande variabelbyten.

Tips :: utför denna matrisprodukträkning för att se varför detta ger oss precis ovanstående kvadratiska formen.

För en kvadratisk form i tre variabler \(x\), \(y\) och \(z\) är den allmänna kvadratiska formen

\[ax^2+bxy+cy^2+dxz+eyz+fz^2\] 

och dess matrisrepresentation blir

\[\left[
\begin{array}{ccc}
 x & y & z \\
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}{ccc}
 a & \frac{b}{2} & \frac{d}{2} \\
 \frac{b}{2} & c & \frac{e}{2} \\
 \frac{d}{2} & \frac{e}{2} & f \\
\end{array}
\right]\left[
\begin{array}{c}
 x \\
 y \\
 z \\
\end{array}
\right]\]


Fler Nyckelord ::