Terminologi


Här ges en ordförklaring av ett nyckelord. Att känna till och förstå nyckelbegreppen är en viktig del av linjäralgebrastudierna.


Linjärkombination

En linjärkombination av vektorer \(v_i\), \(i=1,\dots, n\) är ett uttryck på formen
\[
    a_1v_1+\cdots +a_nv_n,
\]
där \(a_i\), \(i=1,\dots, n\) är reella tal. Exempelvis så är 
\[
    2\cdot\left[\begin{array}{c}1 \\2 \\-2\end{array}\right]+3\cdot\left[\begin{array}{c}2 \\3 \\1\end{array}\right]
\]
en linjärkombination.

Exempel ::  Beräkna om möjligt en  linjärkombination av vektorerna \(u=(1,1,0)\), \(v=(1,0,1)\) och \(w=(0,1,1)\)
som är lika med vektorn \(b=(2,-3,4)\)

En godtycklig linjärkombination av de tre vektorerna kan genereras med  tre tal, kalla dem \(x\), \(y\) och \(z\) ::
\[
    x\cdot u+y\cdot v+z\cdot w
\]
Genom att variera de tre talen så kan vi få varje möjlig linjärkombination. Problemet frågar nu om det finns en speciell kombination
som blir lika med \(b\). Detta ger  ekvationen
\[
x\cdot u+y\cdot v+z\cdot w=b
\]
som blir
\[
    x\left[\begin{array}{c}1 \\1 \\0\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}1 \\0 \\1\end{array}\right]+z\left[\begin{array}{c}0 \\1 \\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2 \\-3 \\4\end{array}\right]
\]
Denna ekvation skriver vi enklare som \(M\mathbf{x} =b\) där
\[
    M=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\1 & 0 & 1 \\0 & 1 & 1\end{array}\right]\quad\text{ och }\quad b=\left[\begin{array}{c}2 \\-3 \\4\end{array}\right]
\]
Från exemplet ska vi förstå att  i ett ekvationssystem \(Mx=b\) så kan vi tolka matrismultiplikationen i vänster led av \(Mx=b\) som en linjärkombination av matrisens kolonner. Vi kan då säga saker som att systemet är konsistent om högerled kan skrivas som linjärkombinationer av matrisens kolonner.


Fler Nyckelord ::