Terminologi


Här ges en ordförklaring av ett nyckelord. Att känna till och förstå nyckelbegreppen är en viktig del av linjäralgebrastudierna.


Matrismultiplikation/matrisprodukt

Matrisprodukten är icke kommutativ, dvs \(A\cdot B\neq B\cdot A\) så den ordning som matriserna står uppställda i är extremt viktig och detta kommer påverka de definitioner vi gör här.

Matriserna \(A\) och \(B\) är \(A\cdot B\)-kompatibla om \(A\)'s antal kolonner är lika med \(B\)'s antal rader. Detta kan också formuleras som att \(A\)'s rader har samma längd som \(B\)'s kolonner, (och då kan man beräkna skalärprodukten mellan raderna i \(A\) och kolonnerna i \(B\)). Detta innebär att om \(A\) har formatet \(m\times n\) och \(B\) har formatet \(p\times q\) så måste \(n=p\) för att de ska vara  \(A\cdot B\)-kompatibel.

Om de istället är \(B\cdot A\)-kompatibla så är \(B\)'s radlängd lika med \(A\)'s kolonnlängd och \(q=m\).

Exempel :: Matriserna \(M\) och \(N\) nedan är \(M\cdot N\) kompatibla men inte \(N\cdot M\)-kompatibla.

\[M=\left[
\begin{array}{ccc}
 1 & 2 & 3 \\
 4 & 5 & 6 \\
\end{array}
\right]\qquad N=\left[
\begin{array}{c}
 7 \\
 8 \\
 9 \\
\end{array}
\right]\]

Format för produktmatrisen :: Produktmatrisens har samma antal rader som den första matrisen och samma antal kolonner som den andra matrisen i produkten. För en \(m\times n\)-matris \(A\) och en \(n\times q\) matris \(B\) så har vi formatberäkningen.

\[A\cdot B : (m\times n)\cdot(n\times q)=(m\times q)\]

Detta gör att produktmatrisen har \(m\cdot n\) antal element sorterade i \(m\) rader och \(n\) kolonner.

Hur man beräknar produkten ::

Nu behöver vi förklara hur vi beräknar produktmatrisens element. Elementet \(c_{ij}\) som står i rad \(i\) och kolonn \(j\) beräknas som skalärprodukten av rad \(i\) från den första matrisen \(A\) och kolonn \(j\) från den andra matrisens \(B\) kolonn. Om vi betecknar \(A\)' rader med \(\mathbf{a}_i\) och \(B\)'s kolonner med \(\mathbf{b}^j\) så har vi att

\[c_{ij}=\mathbf{a}_i\bullet \mathbf{b}^j\]

Se även den ''danska metoden'' för en visualisering av detta

Exempel :: Produkten \(M\cdot N\) för ovanstående matriser blir

\[M\cdot N=\left[
\begin{array}{ccc}
 1 & 2 & 3 \\
 4 & 5 & 6 \\
\end{array}
\right]\cdot\left[
\begin{array}{c}
 7 \\
 8 \\
 9 \\
\end{array}
\right]=\left[
\begin{array}{c}
 \left(
\begin{array}{ccc}
 1 & 2 & 3 \\
\end{array}
\right)\bullet \left(
\begin{array}{ccc}
 7 & 8 & 9 \\
\end{array}
\right) \\
 \left(
\begin{array}{ccc}
 4 & 5 & 6 \\
\end{array}
\right)\bullet \left(
\begin{array}{ccc}
 7 & 8 & 9 \\
\end{array}
\right) \\
\end{array}
\right]=\left[
\begin{array}{c}
 50 \\
 122 \\
\end{array}
\right]\]

För att bättre förstå hur ickekommutativ matrismultiplikation är så kan man studera exemplen i dokumentet

matrismultiplikation är icke kommutativ


Fler Nyckelord ::