Terminologi


Här ges en ordförklaring av ett nyckelord. Att känna till och förstå nyckelbegreppen är en viktig del av linjäralgebrastudierna.


Plan

Ett plan genom en viss punkt \(\mathbf{p}\) är alla punkter \(\mathbf{x}\) som gör att skillnadsvektorn \(\mathbf{x}-\mathbf{p}\) är vinkelrät mot en och samma normalvektor \(n\). Ett plan karakteriseras alltså av att det finns en riktning som är vinkelrät mot planet.
Ett plan i tre dimensioner kan beskrivas med en ekvation:
\[
    ax+by+cz=d,
\]
där \(n=(a,b,c)\) är normalvektorn.
Ett plan kan också skrivas på parameterform som alla linjärlinjärkombination av två  linjärt oberoende vektorer \(\mathbf{u}\) och \(\mathbf{v}\):
\[
    Plan=Span\{\mathbf{u},\mathbf{v}\}=\{\mathbf{x}:\mathbf{x}=s\mathbf{u}+t\mathbf{v}, s,t\in\mathbb{R}\}
\]

Med denna form kan beskriva ett tvådimensionellt plan i godtycklig dimension.

Exempel::  Det homogena systemet

\[\left[
\begin{array}{ccc|c}
 1 & 1 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]\]

har två fria variabler \(y=s\) och \(z=t\) och eftersom  första raden tolkas som att \(x+y+z=0\) så använder vi de fria variablerna för att  ställa  upp systemets parameterlösning

\[\left(
\begin{array}{c}
 x \\
 y \\
 z \\
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c}
 -s-t \\
 s \\
 t \\
\end{array}
\right)= \left(
\begin{array}{c}
 -1 \\
 1 \\
 0 \\
\end{array}
\right)s+ \left(
\begin{array}{c}
 -1 \\
 0 \\
 1 \\
\end{array}
\right)t\]

Eftersom lösningen beskrivs av två oberoende vektorer så är lösningen ett tvådimensionellt plan.


Fler Nyckelord ::