Terminologi


Här ges en ordförklaring av ett nyckelord. Att känna till och förstå nyckelbegreppen är en viktig del av linjäralgebrastudierna.


Skalärprodukt

Skalärprodukten mellan två vektorer definieras som
\[
(u_1, u_2, \dots, u_n)\bullet(v_1, v_2, \dots, v_n)=u_1\cdot v_1+ u_2\cdot v_2 + u_n\cdot v_n) 
\]
Skalärprodukten är därför lätt att beräkna. Notera att skalärprodukten becknas med en fet punkt \(\bullet\)
som inte ska blandas ihop med den  vanliga multiplikationspunkten ''\(\cdot\)''.

Skalärprodukten ger oss en möjlighet att beräkna längden  \(||v||\) av en vektor::

\[
    ||v||^2=v\bullet v \quad\Rightarrow\quad ||v||=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots+v_n^2}
\]

Man kan också visa att skalärprodukten uppfyller
\[
    u\bullet v=||u||||v||\cos\varphi,
\]
där \(\varphi\) är vinkeln mellan vektorerna. Detta uttryck brukar en hel del författare till läroböcker i linjär algebra
använda som definition av skalärprodukten. Det visar sig att de båda definitionerna är ekvivalenta. Den senare definitionen  har fördelen av att inte bero av något valt koordinatsystem, vilket kan vara en fördel.

Från denna definition får vi direkt att \(u\) och \(v\) är vinkelräta/ortogonala om och bara om deras skalärprodukt är noll.


Skalärprodukten har följande räkneregler ::

\begin{eqnarray}
    u\bullet v&=&v\bullet u\\
    u\bullet(v+w)&=&u\bullet v+u\bullet w\\
    u\bullet(s\cdot v+t\cdot w)&=&s\cdot u\bullet v+t\cdot u\bullet w,\qquad s,t\in\mathbb{R}\\
    (s\cdot u)\bullet (t\cdot v)&=&s\cdot t\cdot (v\bullet u)\\
\end{eqnarray}


Fler Nyckelord ::