Terminologi


Här ges en ordförklaring av ett nyckelord. Att känna till och förstå nyckelbegreppen är en viktig del av linjäralgebrastudierna.


Vektorekvationer

En ekvation på formen

\[x\left[
\begin{array}{c}
 1 \\
 2 \\
 1 \\
\end{array}
\right]+y\left[
\begin{array}{c}
 -1 \\
 0 \\
 1 \\
\end{array}
\right]+z\left[
\begin{array}{c}
 1 \\
 1 \\
 -1 \\
\end{array}
\right]=\left[
\begin{array}{c}
 1 \\
 1 \\
 1 \\
\end{array}
\right]\]

är en vektorekvation och vi söker alltså värden på variablerna \(x,y \) och \(z\) så att ekvationen är uppfylld. På matrisform kan denna ekvation skrivas:

\[\left[
\begin{array}{ccc|c}
 1 & -1 & 1 & 1 \\
 2 & 0 & 1 & 1 \\
 1 & 1 & -1 & 1 \\
\end{array}
\right]\]

och denna idé gör att vi kan tolka ekvationssystem som ekvationer där vi kombinerar matrisens kolonnvektorer. 

Poängen med att tolka ett linjärt ekvationssytem som en vektorekvation ligger i att vi direkt kan se hur högerledet förhåller sig till vänster led. För att systemet ska ha lösning så ger vektorekvationen  att  högerledet måste kunna skrivas som en linjärkombination av matrisens kolonnvektor, vilket är vad som står i vänster led av vektorekvationen. Detta betyder att vi har konsistens om höger led ligger i det som kolonnvektorerna spänner upp.

Systemet blir inkonsistent och saknar lösningar om höger led inte ligger i detta spann. Det finns en hel del geometri i detta och detta studerar man när man introducerar radrum, kolonnrum och nollrummen för en matris


Fler Nyckelord ::