Terminologi


Här ges en ordförklaring av ett nyckelord. Att känna till och förstå nyckelbegreppen är en viktig del av linjäralgebrastudierna.


Vektorrum

Ett vektorrum är en mängd element (kallade vektorer) där elementen/vektorerna kan adderas  och kan multipliceras med skalärer/tal. Dessa räkneoperationer ska dessutom uppfylla ett antal räkneregler (se nedan).  Ett vektorrum är alltså en mängd \(V\) tillsammans med en binär addition \(+\) och multiplikation med skalär (skalärerna kan vara de reella talen eller de komplexa talen) "\(\cdot\)" sådana att följande räkneregler är uppfyllda

  1. \(\mathbf{u},\mathbf{v}\in V\) medför att \(\mathbf{u}+\mathbf{v} \in V\) (dvs  \(V\) är sluten under addition).
  2. \(\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}\) (Vektoraddition är kommutativ)

  3. \((\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{v}+(\mathbf{u}+\mathbf{w})\) (Vektoraddition är associativ)

  4. Det finns en vektor \(\mathbf{0}\) som uppfyller \(\mathbf{u}+\mathbf{0}=\mathbf{0}+\mathbf{u}=\mathbf{u}\) (\(\mathbf{0}\) är additiva identiteten)
  5. Till varje vektor \(\mathbf{u}\) finns vektorn \((-\mathbf{u})\) med egenskapen att \(\mathbf{u}+(-\mathbf{u})=-\mathbf{u}+\mathbf{u}=\mathbf{0}\)
  6. Varje skalär multippel \(a\cdot\mathbf{v}\)  av en vektor \(\mathbf{v}\in V\)  är också en vektor i \(V\).   (dvs  \(V\) är sluten under multiplikation med skalär).
  7. \(c(\mathbf{u}+\mathbf{v})=c\mathbf{u}+c\mathbf{v}\) 
  8. \((c+d)\mathbf{v}=c\mathbf{v}+d\mathbf{v}\)
  9. \(c(d\mathbf{v})=(cd)\mathbf{v}\)
  10. \(1\cdot \mathbf{v}=\mathbf{v}\)

Modell för Vektorrummen är de vanliga reella rummen \(\mathbb{R}^n\), som består av våra vanliga koordinatvektorer.

Andra exempel kan vara t.ex. Rummet av kontinuerliga funktioner definierade på intervallet \((0,1)\), där addition och multiplikation med skalär definieras av

\[(f+g)(x)=f(x)+g(x)\qquad (a\cdot f)(x)=a\cdot f(x)\]

Man kan visa att alla ovanstående räkneregler är uppfyllda och därför finns det algebraiska likheter mellan detta funktionsrum och de reella rummen. Men det finns också stora skillnader, som att funktionsrummet är oändligt-dimensionellt medan t.ex. \(\mathbb{R}^n\) är \(n\)-dimensionellt, dvs har ändlig dimension. Detta är en viktig skillnad och de oändligtdimensionella rummen är så annorlunda att vi inte kan fördjupa oss i dem i denna linjäralgebrakurs.


Fler Nyckelord ::